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傅里叶级数 · 锯齿波分解与谐波叠加

锯齿波可分解为所有正弦谐波的叠加（含奇次与偶次，符号交替）：\(f(t) = \frac{2}{\pi}\left(\sin\omega t - \frac{1}{2}\sin 2\omega t + \frac{1}{3}\sin 3\omega t - \frac{1}{4}\sin 4\omega t + \cdots\right)\)
下图展示基波、以及逐次添加2、3、5、10、20、50次谐波后合成波形逼近锯齿波的过程。

傅里叶级数（锯齿波）

周期锯齿波（幅值 \(\pm1\)，角频率 \(\omega=2\pi f\)）的傅里叶级数：

\[ f(t) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sin(n\omega t)}{n} \]

• 基波分量：\(\frac{2}{\pi}\sin(\omega t) \approx 0.637\sin(\omega t)\)
• 2次谐波：\(-\frac{2}{2\pi}\sin(2\omega t) \approx -0.318\sin(2\omega t)\)
• 3次谐波：\(\frac{2}{3\pi}\sin(3\omega t) \approx 0.212\sin(3\omega t)\)
• 4次谐波：\(-\frac{2}{4\pi}\sin(4\omega t) \approx -0.159\sin(4\omega t)\)
• 系数按 \(\frac{2}{n\pi}\) 衰减，符号交替（+、-、+、-…）。
与方波不同，锯齿波包含所有谐波（奇次+偶次），且系数符号交替变化。随着谐波次数增加，合成波形越来越接近理想锯齿波，但在间断点处会出现吉布斯现象（约9%过冲）。

📌 图中横轴为时间 \(t\) (秒)，基频 \(f = 1\,\text{Hz}\)，显示两个完整周期。

观察要点

  • 基波为正弦波，幅度约为0.637，频率与原锯齿波相同。
  • 添加2次谐波后，波形开始不对称倾斜，呈现锯齿轮廓。
  • 继续添加3次、4次、5次谐波，上升沿趋近直线，下降沿变陡。
  • 添加10次谐波后，锯齿波形状已非常清晰，下降沿陡峭。
  • 添加20次、50次谐波后，波形几乎完美逼近理想锯齿波，仅剩吉布斯过冲。
  • 谐波次数越高，合成波形越精确，但过冲无法完全消除（吉布斯现象）。
  • 锯齿波包含偶次谐波，因此收敛方式与方波（仅奇次谐波）不同。

① 理想锯齿波 (参考)

幅值 ±1 V

理想锯齿波，线性上升，瞬间跳变回-1

② 基波分量 (1次谐波)

幅度 2/π ≈ 0.637

\(f_1(t)=\frac{2}{\pi}\sin(\omega t)\)，单一正弦波

③ 基波 + 2次谐波

1次 + 2次

波形开始倾斜，呈现不对称轮廓

④ 基波 + 2次 + 3次谐波

1+2+3次

锯齿轮廓更明显，上升沿趋近直线

⑤ 基波 ~ 5次谐波

1+2+3+4+5次

下降沿变陡，锯齿波形状逐渐清晰

⑥ 基波 ~ 10次谐波

1+2+3+...+10次

上升沿近乎直线，下降沿陡峭，吉布斯过冲出现

⑦ 基波 ~ 20次谐波

1+2+3+...+20次

波形边缘更陡峭，顶部波纹细化，逼近理想锯齿波

⑧ 基波 ~ 50次谐波

1+2+3+...+50次

高阶谐波使波形几乎完美，仅剩极细波纹和吉布斯过冲

⚡ 吉布斯现象：在间断点处，有限项傅里叶级数存在约9%的过冲，且不随项数增加而消失。锯齿波包含所有谐波（奇次+偶次），系数符号交替。