单元01：直流纯电阻电路
电路分析基础（2026）· 第1-4章
知识结构总览
直流纯电阻电路
├─ 1. 电路基本概念与基本定律
│ ├─ 1.1 实际电路与电路模型
│ ├─ 1.2 电路的基本物理量
│ ├─ 1.3 基尔霍夫定律
│ ├─ 1.4 无源元件
│ └─ 1.5 有源元件
├─ 2. 电路的等效变换
│ ├─ 2.1 二端网络的等效
│ ├─ 2.2 电阻的等效变换
│ ├─ 2.3 电源的等效变换
│ ├─ 2.4 无源二端网络的等效电阻
│ └─ 2.5 电桥电路
├─ 3. 电路的系统分析方法
│ ├─ 3.1 支路电流法
│ ├─ 3.2 网孔电流法与回路电流法
│ └─ 3.3 节点电压法
└─ 4. 电路定理
├─ 4.1 叠加定理
├─ 4.2 替代定理
├─ 4.3 等效电源定理
└─ 4.4 最大功率传输定理
1.1 实际电路与电路模型
1.1.1 实际电路
- 定义：由电气设备和器件按一定方式连接而成的电流通路
- 组成：电源（提供电能）、中间环节（传输和分配电能）、负载（消耗电能）
- 功能：实现能量的传输与转换，或实现信号的传递与处理
1.1.2 电路模型
- 定义：用理想电路元件来近似描述实际电路的数学模型
- 理想电路元件：具有精确数学关系的理想化模型（电阻R、电容C、电感L、电压源、电流源）
- 建模原则：在一定条件下，用理想元件的组合来反映实际器件的主要电磁性质
- 集中参数电路：电路尺寸远小于信号波长时，可用集中参数元件描述
1.2 电路的基本物理量
电流
Current
单位时间内通过导体横截面的电荷量。
$i = dq/dt$
单位：安培 (A)
电压
Voltage
单位正电荷从a点移动到b点时电场力所做的功。
$u_{ab} = dw/dq$
单位：伏特 (V)
功率
Power
单位时间内电场力所做的功（能量转换速率）。
$p = dw/dt = ui$
单位：瓦特 (W)
电位
Electric Potential
某点相对参考点的电压。
$V_a = u_{a0}$
参考点：接地
参考方向
电流与电压的参考方向
- 电流参考方向：人为假定的正电荷运动方向。实际方向与参考方向一致时电流为正值，相反为负值
- 电压参考方向：人为假定的电压降方向（正极到负极）
- 关联参考方向：电流从电压正极流入，负极流出
- 功率正负：$p > 0$ 元件吸收（消耗）功率；$p < 0$ 元件发出（提供）功率
- 功率平衡：任一电路中，所有元件吸收功率之和等于零（能量守恒）
1.3 基尔霍夫定律
KVL — 基尔霍夫电压定律
沿任一回路，各支路电压的代数和为零
$\sum u = 0$
KCL — 基尔霍夫电流定律
流入任一节点的电流之和等于流出该节点的电流之和
$\sum i_{入} = \sum i_{出}$
1.3.1 基尔霍夫电压定律（KVL）
- 内容：沿任一回路，各支路电压的代数和为零，$\sum u = 0$
- 推论：回路中各支路电压降的代数和等于电压升的代数和
KVL 列写步骤
1
选定回路的
绕行方向
绕行方向
2
确定各支路电压
的参考方向
的参考方向
3
一致取正
相反取负
相反取负
4
列写方程
$\sum u = 0$
$\sum u = 0$
1.3.2 基尔霍夫电流定律（KCL）
- 内容：任一时刻，流入任一节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，$\sum i_{入} = \sum i_{出}$
- 等价形式：$\sum i = 0$（流入为正，流出为负）
- 推广：KCL适用于任意封闭面（广义节点）
1.4 无源元件
电阻
Resistor
电压与电流成正比的二端元件。线性电阻伏安特性为过原点的直线。
$u = Ri$
单位：欧姆 (Ω)
$p = i^2R = u^2/R$
电容
Capacitor
存储电场能量的二端元件。电容电压不能突变（记忆性）。直流稳态下相当于开路。
$i = C(du/dt)$
单位：法拉 (F)
$W_C = \frac{1}{2}Cu^2$
电感
Inductor
存储磁场能量的二端元件。电感电流不能突变（记忆性）。直流稳态下相当于短路。
$u = L(di/dt)$
单位：亨利 (H)
$W_L = \frac{1}{2}Li^2$
1.5 有源元件
1.5.1 独立电源
理想电压源
端电压恒定，与外电路无关。内阻为零。
伏安特性：平行于电流轴的直线
理想电流源
输出电流恒定，与外电路无关。内阻无穷大。
伏安特性：平行于电压轴的直线
1.5.2 受控源
定义：电压或电流受电路中其他支路电压或电流控制的电源。
VCVS
μ
电压控制电压源
$u_2 = \mu u_1$
VCCS
$g_m$
电压控制电流源
$i_2 = g_m u_1$
CCVS
$r_m$
电流控制电压源
$u_2 = r_m i_1$
CCCS
β
电流控制电流源
$i_2 = \beta i_1$
注意
受控源的特殊性质
- 受控源不是独立激励，不能单独作用
- 在叠加定理中不能像独立源一样单独置零
- 受控源需始终保留在电路中
2.1 二端网络的等效
- 定义：两个二端网络，若端口的伏安关系（VCR）完全相同，则互为等效
- 等效变换的目的：简化电路分析，减少未知量数目
- 注意：等效是对外部电路而言的，内部结构可以不同
2.2 电阻的等效变换
串联
电阻的串联等效
$$R_{eq} = R_1 + R_2 + \cdots + R_n$$
- 特点：流过各电阻的电流相同
- 分压公式：$u_k = \dfrac{R_k}{R_1+R_2+\cdots+R_n} \cdot u$
并联
电阻的并联等效
$$G_{eq} = G_1 + G_2 + \cdots + G_n$$
- 特点：各电阻两端电压相同
- 两个电阻并联：$R_{eq} = \dfrac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}$ 或者 $G_{eq} = G_1 + G_2 $
- 分流公式：$i_k = \dfrac{G_k}{G_{eq}} \cdot i$
2.2.2 电阻的Y-Δ等效变换
Δ→Y 变换
已知三角形连接的三个电阻，求等效星形连接
$R_1 = \dfrac{R_{12}R_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$
$R_2 = \dfrac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$
$R_3 = \dfrac{R_{31}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$
$R_2 = \dfrac{R_{12}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$
$R_3 = \dfrac{R_{31}R_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}$
Y→Δ 变换
已知星形连接的三个电阻，求等效三角形连接
$R_{12} = \dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_3}$
$R_{23} = \dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1}$
$R_{31} = \dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2}$
$R_{23} = \dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_1}$
$R_{31} = \dfrac{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}{R_2}$
对称情况
当 $R_{12}=R_{23}=R_{31}=R_\Delta$ 时
$R_Y = R_\Delta/3$
2.3 电源的等效变换
2.3.1 实际电源模型与等效变换
电压源模型
理想电压源 $U_s$ 串联内阻 $R_0$
电流源模型
理想电流源 $I_s$ 并联内阻 $R_0$
等效变换关系
内阻 $R_0$ 不变，仅对外部电路等效
$U_s = I_s \cdot R_0 \qquad I_s = U_s / R_0$
注意
等效变换注意事项
- 等效变换时内阻 $R_0$ 不变
- 变换仅对外部电路等效，内部不等效
- 理想电压源与理想电流源之间不能直接变换
2.3.2 理想电源的串并联等效
电压源串联
Σ
$U_s = U_{s1} + U_{s2}$
同向相加
反向相减
电压源并联
=
要求各电压源
电压相等
否则违反KVL
电流源串联
=
要求各电流源
电流相等
否则违反KCL
电流源并联
Σ
$I_s = I_{s1} + I_{s2}$
同向相加
反向相减
2.4 无源二端网络的等效电阻
定义：将网络内所有独立源置零（电压源短路，电流源开路）后，端口的等效电阻。
求解方法
方法一
串并联化简法
利用电阻串并联公式逐步化简。
方法二
外加电源法
加压求流或加流求压，计算端口等效电阻。
方法三
Y-Δ变换法
将Y形或Δ形连接变换后再化简。
方法四
对称性分析法
利用电路对称性简化计算。
2.5 电桥电路
电桥
电桥电路
电桥平衡条件：对臂电阻乘积相等
$$R_1 R_3 = R_2 R_4$$
$$R_1 R_3 = R_2 R_4$$
- 平衡时特点：桥臂中间无电流，可视为开路或短路
- 不平衡电桥：需用Y-Δ变换或其他方法求解
3. 电路的系统分析方法
方法一
支路电流法
以各支路电流为未知量，列写KCL和KVL方程联立求解。
方程数 = b
直观但方程多
方法二
网孔电流法
假设沿每个网孔边界流动的环形电流为未知量。
方程数 = 网孔数
仅适用平面电路
方法三
节点电压法
以各节点相对于参考节点的电压为未知量。
方程数 = n-1
适用范围广
3.1 支路电流法
3.1.1 两类约束与电路方程
KCL 约束
对n个节点的电路
独立KCL方程数 = n-1
KVL 约束
对b条支路、n个节点的平面电路
独立KVL方程数 = b-(n-1)
元件约束（VCR）
每条支路的电压电流关系
3.1.2 支路电流方程的列写
1
设定各支路电流
的参考方向
的参考方向
2
对n-1个节点
列写KCL方程
列写KCL方程
3
对独立回路
列写KVL方程
列写KVL方程
4
用支路电流表示
各支路电压（VCR）
各支路电压（VCR）
5
联立求解
共b个方程
共b个方程
3.1.3 电路拓扑结构（图论基础）
图论
电路拓扑基本概念
- 图（Graph）：节点和支路的集合
- 连通图：任意两个节点之间都有通路
- 树（Tree）：连通图中包含所有节点但不含回路的子图
- 树支：属于树的支路，数目 = n-1
- 连支：不属于树的支路，数目 = b-(n-1)
- 基本回路：由一条连支和若干树支构成的回路
3.2 网孔电流法与回路电流法
3.2.1 网孔电流方程的标准形式
对于平面电路，以网孔电流为未知量。标准形式：
$$\begin{bmatrix}
R_{11} & R_{12} & \cdots & R_{1m} \\
R_{21} & R_{22} & \cdots & R_{2m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
R_{m1} & R_{m2} & \cdots & R_{mm}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} i_{m1} \\ i_{m2} \\ \vdots \\ i_{mm} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} u_{s11} \\ u_{s22} \\ \vdots \\ u_{smm} \end{bmatrix}$$
- 自电阻 $R_{ii}$：网孔 $i$ 中所有电阻之和，始终为正
- 互电阻 $R_{ij}$ $(i \neq j)$：网孔 $i$ 与网孔 $j$ 公共支路上的电阻之和。当两网孔电流在公共支路上方向相同时取正号，相反则取负号（若统一取顺时针方向，互电阻始终为负）
- $u_{sii}$：网孔 $i$ 中所有电压源电压升的代数和
3.2.2 含电流源的网孔电流方程
电流源在边界支路
该网孔电流已知，直接写方程
电流源在公共支路
引入电流源两端电压作为附加未知量，增加一个方程
3.2.3 含受控源的网孔电流方程
1
先将受控源
视为独立源列方程
视为独立源列方程
2
将受控源的控制量
用网孔电流表示
用网孔电流表示
3
代入方程
整理
整理
3.3 节点电压法
3.3.1 节点电压方程的标准形式
以节点电压（相对参考节点的电位差）为未知量。标准形式：
$$\begin{bmatrix}
G_{11} & G_{12} & \cdots & G_{1,n-1} \\
G_{21} & G_{22} & \cdots & G_{2,n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
G_{n-1,1} & G_{n-1,2} & \cdots & G_{n-1,n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} u_{n1} \\ u_{n2} \\ \vdots \\ u_{n,n-1} \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} i_{s11} \\ i_{s22} \\ \vdots \\ i_{s,n-1,n-1} \end{bmatrix}$$
- 自电导 $G_{ii}$：连接到节点 $i$ 的所有电导之和，始终为正
- 互电导 $G_{ij}$ $(i \neq j)$：节点 $i$ 与节点 $j$ 之间直接相连的电导之和，始终取负号
- $i_{sii}$：流入节点 $i$ 的所有电流源的电流代数和（流入为正）
3.3.2 含理想电压源支路的节点电压方程
电压源接在节点与参考点之间
该节点电压已知，少写一个方程
电压源接在两个非参考节点之间
引入流过电压源的电流作为附加未知量，增加一个方程
3.3.3 含受控源的节点电压方程
处理方法：与网孔法类似，先将受控源视为独立源，再用节点电压表示控制量代入。
4. 电路定理
定理一
叠加定理
线性电路中，任一支路的电流（或电压）等于各独立源单独作用时产生的代数和。
仅适用线性电路
定理二
替代定理
已知某支路电压u或电流i，可用理想电压源或电流源替代该支路。
线性或非线性
定理三
等效电源定理
含源线性二端网络可用戴维南或诺顿等效电路替代。
戴维南 + 诺顿
定理四
最大功率传输
当 $R_L = R_{eq}$ 时，负载获得最大功率。
效率 50%
4.1 叠加定理
内容：在线性电路中，任一支路的电流（或电压）等于各独立源单独作用时在该支路产生的电流（或电压）的代数和。
应用步骤
1
每次只保留一个
独立源
独立源
2
其余独立源置零
（电压源短路，电流源开路）
（电压源短路，电流源开路）
3
分别计算各独立源
单独作用时的响应
单独作用时的响应
4
将各响应
代数相加
代数相加
注意
叠加定理使用限制
- 仅适用于线性电路
- 功率不能用叠加定理直接计算（功率是电压或电流的二次函数）
- 受控源不能单独置零，需始终保留在电路中
4.2 替代定理
定理
替代定理
- 内容：在线性或非线性电路中，若已知某支路的电压u（或电流i），则可用一个电压等于u的理想电压源（或电流等于i的理想电流源）替代该支路，而不改变电路中其余部分的电压和电流
- 意义：可以将复杂问题分解为简单问题
4.3 等效电源定理
4.3.1 戴维南定理（Thévenin's Theorem）
戴维南
Thévenin's Theorem
$$\text{含源线性二端网络} \equiv U_{oc} \text{（开路电压）串联 } R_{eq}$$
求解步骤：
1
求开路电压 $U_{oc}$
断开待求支路
断开待求支路
2
求等效电阻 $R_{eq}$
独立源置零
独立源置零
3
画出等效电路
接入待求支路
接入待求支路
$R_{eq}$ 的求法：
- 方法一：独立源置零后直接计算
- 方法二：$R_{eq} = U_{oc} / I_{sc}$（开路电压除以短路电流）
- 方法三：外加电源法
4.3.2 诺顿定理（Norton's Theorem）
诺顿
Norton's Theorem
$$\text{含源线性二端网络} \equiv I_{sc} \text{（短路电流）并联 } R_{eq}$$
与戴维南定理的关系：
$$U_{oc} = I_{sc} \cdot R_{eq}$$
即诺顿电路与戴维南电路可互相等效变换
4.4 最大功率传输定理
定理
最大功率传输定理
条件：当负载电阻 $R_L$ 等于含源二端网络的戴维南等效电阻 $R_{eq}$ 时，负载获得最大功率。
$$P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}$$
$$P_{max} = \frac{U_{oc}^2}{4R_{eq}}$$
匹配条件：$R_L = R_{eq}$
传输效率：50%