单元02：正弦稳态分析

5.1 正弦量的基本概念

5.1.1 频率与周期

• 周期 T：正弦量完成一次周期性变化所需的时间，单位：秒（s）
• 频率 f：单位时间内正弦量完成周期性变化的次数，$f = 1/T$，单位：赫兹（Hz）
• 角频率 ω：正弦量相位变化的速度，$\omega = 2\pi f = 2\pi/T$，单位：弧度/秒（rad/s）
• 工频：我国电力系统标准频率为50Hz，即 $\omega = 100\pi \approx 314$ rad/s

5.1.2 振幅与有效值

• 瞬时值：$i(t) = I_m \sin(\omega t + \varphi)$
• 振幅（最大值） $I_m$：正弦量的最大值
• 有效值（RMS值）：与正弦量产生相同热效应的直流值 $$I = \frac{I_m}{\sqrt{2}} \approx 0.707 I_m$$
• 有效值的意义：交流电表的读数通常为有效值；电气设备的额定值也用有效值表示

5.1.3 初相位

• 相位：$\omega t + \varphi$，表示正弦量在某一时刻的状态
• 初相位 $\varphi$：$t=0$ 时刻的相位角，$|\varphi| \leq \pi$
• 物理意义：反映正弦量在计时起点时的状态
• 相位差：两个同频率正弦量的初相位之差，$\varphi = \varphi_1 - \varphi_2$
  • $\varphi > 0$：u 超前 i（或 i 滞后 u）
  • $\varphi < 0$：u 滞后 i（或 i 超前 u）
  • $\varphi = 0$：u 与 i 同相
  • $\varphi = \pi$：u 与 i 反相

5.2 正弦量的相量表示法

5.2.1 复数及其运算

• 复数表示：
  • 代数形式：$A = a + jb$（$j^2 = -1$）
  • 指数形式：$A = |A|e^{j\theta}$
  • 极坐标形式：$A = |A|\angle\theta$
• 基本运算：
  • 加减法：实部与实部相加减，虚部与虚部相加减
  • 乘除法：模相乘除，辐角相加减
  • 共轭复数：$\bar{A} = a - jb = |A|\angle(-\theta)$

5.2.2 相量的概念

• 定义：用复数来表示正弦量的振幅（或有效值）和初相位
• 振幅相量：$\dot{I}_m = I_m e^{j\varphi} = I_m\angle\varphi$
• 有效值相量：$\dot{I} = I e^{j\varphi} = I\angle\varphi$（工程中更常用）
• 对应关系：$i(t) = I_m \sin(\omega t + \varphi) \leftrightarrow \dot{I}_m = I_m\angle\varphi$
• 注意：相量只能表示同频率的正弦量；不同频率的正弦量不能用同一相量表示

5.2.3 相量图

• 定义：在复平面上用有向线段表示相量的图形
• 画法：以坐标原点为起点，长度表示有效值（或振幅），角度表示初相位
• 用途：直观表示各正弦量之间的相位关系；辅助进行相量的加减运算

5.2.4 相量的运算性质

• 时域微分对应相量乘法：$\frac{d}{dt} \rightarrow j\omega$
• 时域积分对应相量除法：$\int dt \rightarrow \frac{1}{j\omega}$
• 同频率正弦量的线性运算：可用相量直接进行加减

5.3 两类约束的相量形式

5.3.1 基尔霍夫定律的相量形式

• KCL的相量形式：$\sum \dot{I} = 0$（流入节点的相量电流之和为零）
• KVL的相量形式：$\sum \dot{U} = 0$（沿回路的相量电压之和为零）
• 说明：相量形式的KCL和KVL与直流电路形式完全相同，但运算对象是复数

5.3.2 电路元件伏安关系的相量形式

5.4 无源单口网络的阻抗

5.4.2 阻抗的串联与并联

• 串联：$Z_{eq} = Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n$
• 并联：$Y_{eq} = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_n$（即 $\frac{1}{Z_{eq}} = \frac{1}{Z_1} + \frac{1}{Z_2} + \cdots + \frac{1}{Z_n}$）
• 分压公式：$\dot{U}_k = \frac{Z_k}{Z_1+Z_2+\cdots+Z_n} \cdot \dot{U}$
• 分流公式：$\dot{I}_k = \frac{Y_k}{Y_{eq}} \cdot \dot{I}$（即 $\dot{I}_k = \frac{Z_{eq}}{Z_k} \cdot \dot{I}$）

5.4.3 电路的相量模型

• 建立方法：将电路中各元件用其相量模型替换
  • 电阻 → $R$
  • 电感 → $j\omega L$
  • 电容 → $1/(j\omega C)$
  • 电压源 → $\dot{U}_s$，电流源 → $\dot{I}_s$
• 特点：相量模型中各量都是复数，分析方法与直流电阻电路相同

5.5 正弦稳态电路的相量法分析

5.5.1 简单交流电路的分析

5.5.2 交流电路中的网孔法与节点法

• 网孔法：与直流电路形式相同，只是阻抗为复数 $$Z_{11}\dot{I}_{m1} + Z_{12}\dot{I}_{m2} + \cdots = \dot{U}_{s11}$$
• 节点法：与直流电路形式相同，只是导纳为复数 $$Y_{11}\dot{U}_{n1} + Y_{12}\dot{U}_{n2} + \cdots = \dot{I}_{s11}$$

5.6 正弦交流电路的功率

5.6.1 瞬时功率

• 定义：$p(t) = u(t) \cdot i(t)$
• 表达式：$p(t) = UI\cos\varphi_z - UI\cos(2\omega t + \varphi_u + \varphi_i)$
  • 恒定分量（平均功率）+ 两倍频波动分量

5.6 四种功率一览

5.6.6 电路功率因数的提高

5.6.7 最大功率传输

5.7 电路的频率响应

5.7.1 网络函数与频率特性

• 网络函数：$H(j\omega) = \dfrac{\dot{Y}(j\omega)}{\dot{X}(j\omega)}$（输出相量与输入相量之比）
• 幅频特性：$|H(j\omega)|$ 随频率变化的关系
• 相频特性：$\arg H(j\omega)$ 随频率变化的关系

5.8 谐振电路

串联谐振 vs 并联谐振

6.1 耦合电感

6.1.1 互感

• 定义：当一个线圈中的电流变化时，不仅在本线圈中产生感应电压，还在相邻线圈中产生感应电压的现象
• 互感系数 M：$M_{12} = M_{21} = M$
• 耦合系数：$k = M/\sqrt{L_1 L_2}$，$0 \leq k \leq 1$
  • $k = 0$：无耦合
  • $k = 1$：全耦合（理想情况）

6.1.2 耦合电感的伏安关系

6.1.3 耦合电感的同名端

• 定义：当两线圈电流同时从同名端流入（或流出）时，互感磁通与自感磁通方向相同
• 判断方法：
  • 标记法：用"•"或"*"标记同名端
  • 右手螺旋法则：根据绕向判断
• 作用：确定互感电压的正负号

6.1.4 耦合电感的等效电路模型

• 去耦等效：将耦合电感用无互感的等效电路替代
• T型等效（同名端相连时）：等效电感分别为 $L_1-M$、$L_2-M$、$M$
• 应用：将含互感的电路转化为无互感电路，便于分析

6.2 含耦合电感的正弦稳态电路的分析

6.3 空心变压器

6.4 理想变压器

6.4.1 理想变压器的主要性能

6.4.2 含理想变压器的电路分析