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傅里叶级数 · 梯形波分解与谐波叠加

梯形波可以分解为奇次正弦谐波的叠加，其频谱衰减速度介于方波与三角波之间。
梯形波参数：上升/下降沿各占半周期的 \(20\%\)（即 \(0.1\,\text{s}\)），平顶占 \(60\%\)（即 \(0.3\,\text{s}\)），幅值 \(\pm1\)。
下图展示基波、以及逐次添加3、5、7、11、33、55次谐波后合成波形逼近梯形波的过程。

傅里叶级数（梯形波）

周期梯形波（幅值 \(\pm1\)，上升沿时间 \(\tau_r\)，平顶时间 \(\tau_p\)，下降沿时间 \(\tau_f\)）的傅里叶级数仅含奇次正弦项：

\[ f(t) = \sum_{n=1,3,5,\ldots}^{\infty} b_n \sin(n\omega t) \]

系数 \(b_n\) 随 \(n^2\) 衰减（当上升/下降沿不为零时），收敛速度比方波快。本演示采用数值积分精确计算各次谐波系数。
参数：周期 \(T=1\,\text{s}\)，上升沿长度 \(0.1\,\text{s}\)，平顶长度 \(0.3\,\text{s}\)，下降沿长度 \(0.1\,\text{s}\)。

📌 图中横轴为时间 \(t\) (秒)，基频 \(f = 1\,\text{Hz}\)，显示两个完整周期。梯形波边缘平滑，谐波衰减快，有限项合成波形已高度逼近。

观察要点

基波为正弦波，幅度约0.93（比三角波基波略大）。
添加3次谐波后，波形开始呈现“梯形”轮廓，平顶区出现小波动。
添加5次、7次谐波后，平顶区波动减小，上升/下降沿变陡。
添加11次、33次、55次谐波后，波形几乎与理想梯形波重合，吉布斯过冲极不明显。
由于上升/下降沿的存在，梯形波的高频分量衰减快，合成收敛速度优于方波。

① 理想梯形波 (参考)

幅值 ±1 V

上升/下降沿各0.1s，平顶0.3s，对称梯形

② 基波分量 (1次谐波)

幅度 ≈ 0.905

\(f_1(t)=b_1\sin(\omega t)\)，主频分量

③ 基波 + 3次谐波

1次 + 3次

开始出现平顶轮廓，上升/下降段弯曲

④ 基波 + 3次 + 5次谐波

1+3+5次

平顶区波动减小，上升/下降沿变陡

⑤ 基波 + 3次 + 5次 + 7次谐波

1+3+5+7次

进一步逼近，平顶区更平坦

⑥ 基波 + 3+5+7+9+11次谐波

1+3+5+7+9+11次

平顶区波动基本消失，上升沿更直

⑦ 基波 ~ 33次谐波 (奇次)

1+3+5+...+33次

几乎完美梯形波，高阶谐波贡献微小

⑧ 基波 ~ 55次谐波 (奇次)

1+3+5+...+55次

极高阶谐波，波形与理想梯形波几乎完全重合

💡 梯形波的傅里叶级数以 \(1/n^2\) 衰减（当上升/下降沿不为零时），收敛速度比肩三角波，远快于方波。因此有限项合成波形已高度逼近原始波形。